а)

б)

Рисунок 6 Схема цилиндрической и конической оболочек

При малых величинах углов можно принять

Разделив уравнение на получим :

(1)

Полученное уравнение - основное уравнение безмоментной теории оболочек. Использовать его можно для участков оболочки, расположенных на достаточном удалении от зон краевых эффектов.

Для цилиндрической оболочки (см. Рис. 6, а) радиус образующей бесконечен (R =∞) и окружное напряжение равно:

(2)

При одном и том же давлении напряжения больше в оболочке большего радиуса и меньшей толщины.

Осевые напряжения определяются через внешнюю продольную силу N и площадь сечения оболочки как:

(3)

В конических оболочках (см. Рис. 6, б) напряжения вычисляются аналогично. Здесь так же, как в цилиндрической оболочке, радиус образующей бесконечен, и окружные напряжения равны , но радиус r кривизны в произвольной точке A определяется через радиус окружности, перпендикулярной оси оболочки a как ,

(4)

Для определения напряжения , действующего вдоль образующей, проведем через некоторую точку A сечение, перпендикулярное оси оболочки, отбросим часть оболочки справа от сечения (см. Рис. 6) и заменим действие отброшенной части напряжением . Составим уравнение равновесия в проекции на ось x :

(5)

где N - продольная внешняя сила, в нее включена осевая составляющая давления.

Учитывая, что получим:

Откуда

(6)

Рисунок 7 Напряженно-деформированное состояние оболочки вблизи фланца под внутренним давлением

Соотношения (1) - (6) используются на начальных этапах проектирования для определения общей конфигурации элементов силовой схемы и предварительной оценки несущей способности и массы. По мере оформления облика конструкции, введения в нее местных утолщений, фланцев и т.д. проводятся уточняющие расчеты, в которых модель безмоментной оболочки не может быть использована.

Модели оболочки, учитывающие местные напряжения, разработаны в моментной теории оболочек. Их возможности ограничены относительно узким кругом конструктивных элементов, для которых получены расчетные соотношения.